La conjecture de Syracuse

La Voie de l’Unité

Yin la séquence de Fibonacci, Yang la séquence de Syracuse

Dès que

Le coeur additionne
L’intellect soustrait
L’âme divise
L’esprit multiplie

Tant que

Nul ne nait du nombre de ce que l’on parque dans l’ombre

En son nid

Le temps suspend son vol
Et l’oiseau en osmose
Entre deux clés de sol
Doucement se repose.

Il part à tire d’ailes
Découper dans l’azur
Ses morceaux de ciel bleu
Éclaboussant nos yeux.

De cet éclair radieux
Qui chuchote à mi voix
Un air pourtant si vieux
et si frais à la fois.

Doucement il se pose
Suspendu entre deux
Mesurant la portée
De son œil mélodieux.

Écoutant cet émoi
Qui tremble et ne sais pas
Comment poser sa voix
Pour dire ce qu’il voit.

Car le Chant de la Vie
Se tisse sans bruit
Chaque fois que l’Esprit
Se pose en son nid.

Si tu lèves les yeux
Sans chercher le ciel bleu
Ni le chant de l’oiseau
Le vol suspend le temps.

Lise

En mathématiques, on appelle suite de Syracuse une suite d’entiers naturels définie de la manière suivante :

On part d’un nombre entier plus grand que zéro ; s’il est pair, on le divise par 2 ; s’il est impair, on le multiplie par 3 et on ajoute 1. En répétant l’opération, on obtient une suite d’entiers positifs dont chacun ne dépend que de son prédécesseur.

Par exemple, à partir de 14, on construit la suite des nombres : 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2… C’est ce qu’on appelle la suite de Syracuse du nombre 14.

Après que le nombre 1 a été atteint, la suite des valeurs (1,4,2,1,4,2…) se répète indéfiniment en un cycle de longueur 3, appelé cycle trivial.

Si l’on était parti d’un autre entier, en lui appliquant les mêmes règles, on aurait obtenu une suite de nombres différente. A priori, il serait possible que la suite de Syracuse de certaines valeurs de départ n’atteigne jamais la valeur 1, soit qu’elle aboutisse à un cycle différent du cycle trivial, soit qu’elle diverge vers l’infini. Or, on n’a jamais trouvé d’exemple de suite obtenue suivant les règles données qui n’aboutisse pas à 1 et, par suite, au cycle trivial.

La conjecture de Syracuse, encore appelée conjecture de Collatz, conjecture d’Ulam, conjecture tchèque ou problème 3x+1 est l’hypothèse mathématique selon laquelle la suite de Syracuse de n’importe quel entier strictement positif atteint 1.

ApprocheIl s’agit d’une itération sur un nombre de départ telle que si le nombre est impair on le gonfle, s’il est pair on l’amorti Au cours des itérations, le nombre va osciller en croissant et décroissant, parfois atteignant des hauteurs insoupçonnées, mais il finira toujours par se poser en finissant par la valeur 1. Incroyable! Règle 5 se transforme en 3 x 5+ 1 = 16      16 devient 16/2 = 8 Exemple départ avec 5 La procédure nous entraîne vers 1. En poursuivant nous entrons dans une boucle avec le 4.   Exemple départ avec 13 Après quelques étapes, nous rencontrons le 5, objet de l’exemple précédent. Avec 13, la procédure conduit également vers le 1 et sa boucle en 4.

En dépit de la simplicité de son énoncé, cette conjecture défie depuis de nombreuses années les mathématiciens. Paul Erdős a dit à propos de la conjecture de Syracuse :

« les mathématiques ne sont pas encore prêtes pour de tels problèmes ».

Wikipédia

Analogie musicale

Il existe une forte analogie entre le problème de Syracuse et la théorie musicale. Considérons en effet les entiers comme des notes de musique caractérisées par leur fréquence. Ainsi, la division par 2 d’un entier pair revient à descendre d’une octave. Tandis qu’une multiplication par 3/2 d’un entier impair s’apparente à une quinte. La gamme pythagoricienne est précisément basée sur les deux accords jugés les plus harmonieux que sont l’octave et la quinte. Une gamme de 12 notes a été définie et largement utilisée car une série de 12 quintes aboutit à un son très proche du son de départ remonté de 7 octaves. C’est le cycle des quintes. Mathématiquement, nous pouvons effectivement vérifier que (3/2)^12 = 129.746… ≈ 2^7 = 128, ou encore que ln 3/ln 2 ≈ 19/12.

Il se trouve que la recherche de cycles dans le problème de Syracuse est étroitement liée aux approximations rationnelles de ln 3/ln 2 [Roz90] [Sin03].

Encore aujourd’hui, nous utilisons la gamme tempérée obtenue en divisant l’octave en 12 demi-tons chromatiques égaux avec un rapport de fréquence de 2^(1/12).

Version Yi King de la conjecture de Syracuse à télécharger en fin d’article

Septénaire des conjectures équivalentes
1.  Le vol se termine toujours par 1; 2.  Tout nombre > 4 a une durée de vol en altitude finie; 3.  La durée de tout vol est finie; 4.  Tout vol a un nombre fini d’étapes paires; 5.  Tout vol a un nombre fini d’étapes paires en altitude; 6.  Tout vol a un nombre fini d’étapes impaires; 7.  Tout vol a un nombre fini d’étapes impaires en altitude.

La conjecture de Goldbach est une assertion mathématique non démontrée qui s’énonce comme suit :

Tout nombre entier pair supérieur à 3 peut s’écrire comme la somme de deux nombres premiers.

Calcul en ligne

Syracuse Voyage en Papillon

Voir aussi

1. La conjecture de Syracuse
2. Voyage-Fleur-Papillon
3. Les méthodes de Syracuse
4. Envol du Voyageur
5. Horaire du vol
6. Informations sur l’envol
7. Destination du vol
8. Zones de papotage
9. Vol observé
10. Triangularisation de l’envol
11. Entrée-Sortie des données du vol
12. Ennéagramme du Voyageur

Créons-nous un excellent aujourd’hui.